벡터의 스칼라 곱

극좌표 형식으로 표현된 벡터를 사용할때는 오직 크기와 방향이 주어졌다는것을 의미하고

벡터에 스칼라를 곱하는 것은 크기를 늘리거나 줄이는 결과를 가져옵니다.

곱하는 스칼라가 1보다 크다면, 벡터의 크기는 커지고 스칼라가 1보다 작다면 벡터의 크기는 작아집니다.

 

극좌표 형식 벡터의 스칼라 곱

임의의 벡터 A = c||A||@Θ에 대하여

cA=c||A||@Θ

예제)
벡터 A = 3ft@22도 일떄 5A를 구하십시오

5A = 5(3ft)@22도 = 15ft@22도

 

데카르트 형식 벡터의 스칼라 곱

임의의 스칼라 c와 임의의 벡터 A=ai + a2j에 대하여 cA=c1i+c2j

예제)

벡터 A=12i + 4j 일떄 1/2A를 구하십시오

1/2A=1/2(12i) +  1/2(4j) = 6i + 2j

 

프로그래밍에서 정규화라는 용어가 종종 쓰이곤 합니다. 이용어는 다른게 아니라 벡터의 크기를 1로 맞추는 것을 뜻한다.

우리는 종종 벡터의 방향만을 사용하고 싶을 떄가 있습니다. 두 반위 벡터 i 와 j가 바로 그 좋은 예입니다.

i는 x축 양의 방향을 가리키는 크기가 1인 벡터이죠 마찬가지로 j는 y축 양의 방향을 가리키는 크기가 1인 벡터입니다.

 

벡터 정규화는 벡터가 극좌표 형식일때 매우 간단합니다.

벡터의 크기를 1로 바꾸고 방향을 변경하지 않으면 되는 것..

하지만 프로그래밍 할떄는 정규화할 벡터가 데카르트 좌표로 표현되어 있을떄가 많다. 이런경우 벡터의 크기를 계산하여 각 성분을 크기로 나누면 됩니다. 이는 기본적으로 크기의 역수를 곱하는 스칼라 곱입니다.

2차원 벡터의 정규화

임의의 벡터 A=[a1 a2]에 대하여

A = 1/||A||*A = [a1/||A||, a2/||A||]   ------------ ①

예) A = [5 0 -12]를 정규화해보자

가정먼저해야할것은 A의 크기를 구하는 것입니다.

||A|| = √5^2 + 0^2 + (-12)^2 = √25 + 0 + 144  = √169 = 13

이제 크기를 알았으니 위의 공식을 보면 벡터의 각 성분을 크기로 나누고 있다.①

[ 5/13 0/13 -12/13 ]

 

위를 보시는 바와 같이 스칼라 곱은 벡터의 크기를 바꾸는 결과를 가져온다.

방향은 같게 유지가 된다는 것..

그럼 두 벡터의 곱셉은 어떻게 하는 것일까?

두벡터의 내적은 그 결과가 항상 스칼라입니다.

2차원 백터의 내적

임의의 2차원 벡터 A = [ a1, a2] B = [b1,b2]

에 대하여 A ● B = a1b2 + a2b2

내적은 두 벡터의 각 x성분의 곱과 y성분의 곱을 더한결과를 취한다.

단, 두 벡터가 반드시 같은차원에서만 된다. 2차원 3차원..

 

1. 백터의 내적으로 두 벡터 사이의 각을 구 할 수 있다.

직교조건

A●B = 0이면 A⊥B

이방법은 수직선인지를 확인하는 매우 효과적인 방법이 된다.

만약 0이 아니라면

두 벡터 A와 B사이의 각을 Θ라 할때

A●B <0 이면 Θ>90

A●B >0 이면 Θ<90

예) 게임에서 카메라 위치가 (1,4)이고 벡터 C=[5,3] 이 카메라의 방향을 나타내고 있습니다.

어떤 물체의 위치가 (7,2)이고 이 카메라의 시야가 90도라면 이 물체는 카메라의 시야에 들어올까

1. 먼저 카메라 위치에서 물체의 위치를 가리키는 벡터를 구해야한다.

이떄 물체의 위치에서 카메라의 위치를 뺴서 벡터를 구할 수 있다.

이 벡터를 D=[(7-1)(2-4)] = [6 -2]

* 단순히 좌표의 이동을 보면 더 쉽다..데카르트 식

2. C●D를 구한다

C●D= 5(6) + 3(-2) = 24

3. C●D > 0 이므로 카메라의 방향과 물체의 방향 사이의 각은 90도보다 작다. 시야에 들어옴

90보다 큰지 작은지는 이렇게 간단하게 하는데

만약 두 벡터 사이의 각에 대해 더 많은 정보를 원한다면 내적을 통해서 확인해야한다.