벡터의 내적 & 외적

벡터의 내적

두 벡터 사이의 각

임의의 두 벡터 A, B사이의 각을 Θ라 하면

A●B = ||A||B||cosΘ

예)

현재 움직이고 있는 방향을 나타내는 벡터가 C=[5 2 -3]인데 벡터 D=[8 1 -4]가 가리키는 방향으로 움직이고자 한다.

현재 벡터C와 원하는 벡터D사이의 각은 얼마인가?

1. 먼저 C●D를 구하고

5(8) + 2(1) + (-3)(-4) =  54

2. 이제 위의 공식을 적용하려면 벡터의 크기를 구한다||A||B||

||C||=√5^2 + 2^2 + (-3)^2 = √38

||D||=√8^2 + 1^2 + (-4)^2 = √81

그 다음에 Θ를 구하기 위해 구한 값을 공식에 대입한다.

C●D = ||C||D||cosΘ

54 = √38(√81)cosΘ

54/√38(√81) = cosΘ

13.3도..

 

벡터의 외적

내적의 결과는 스칼라이고, 외적의 결과는 벡터라는 점이다.

임의의 두 벡터 A=[a1 a2 a3], B=[b1 b2 b3]에 대하여

A x B = [(a2b3 - a3b2)(a3b1 - a1b3)(a1b2-a2b1)]

 

외적의 가장 중요한 성질은 바로 외적의 결과가 원래의 두 벡터와 모두 직교하는 벡터라는 점이다.

이런 이유 떄문에 외적은 3차원 벡터에 대해서만 정의된다.

A x B는 두 벡터 A, B에 모두 수직

 

외적은 교환법칙이 성립하지 않음

A x B = B x A (X)

단 임의의 3차원 벡터 A, B에 대해서 A x B=-(B x A)

 

외적의 결과가 원래의 두 벡터와 수직인 세 번째 벡터를 만든다는 독특한 성질 덕택에 외적은 표면법선을 계산하는데 사용할 수 있다.

(표면법선이란 주어진 면에 수직인 길이가 1인 벡터를 말한다)

표면법선

임의의 두 3차원 벡터 A, B에 대하여

표면법선 = (AxB) = AxB/||AxB||

예)

두 벡터 A = [5 -2 0] B=[1 2 3]으로 정의되는 면이 있을 때 이 면과 충돌한 물체의 운동을 결정하는데 사용할 수 있도록 표면법선을 구하시오.

위공식을 토대로

1. 외적의 결과는 주어진 두 벡터와 직교하는 새로운 벡터이다.

A x B = [-6 -15 12]

2. ||AxB||는

= √(-6)^2 + (-15)^2 + (12)^2 = √405 = 20.125

3. [ -6/20.215 -15/20.125 12/20.125 ] = [-0.298 0.745 0.596 ]

 

외적 역시 두 벡터 사이의 각을 구하는데 사용할 수 있다.

만약 내적, 외적 둘중에 선택하게 된다면 내적이 각을 더 빠르게 구할 수 있다.

하지만, 이미 외적의 값을 알고 있다면 아래의 공식을 적용

||AxB|| = ||A||||B||sinΘ