행렬연산

행렬이란 가로와 세로로 나열된 수의 집합입니다.

수를 저장한다는 제약만을 가진 일종의 배열입니다.

      1 2 3

A = 4 5 6

      7 8 9

 행렬 표기에는 언제나 행이 첫번째 그 다음이 열입니다.

이 행렬의 차수는 3x3 이다 세개의 행과 세개의 열이 있기 때문입니다.

 

행렬의 상동

조건 1. 두 행렬의 차수가 같다.

       2. 모든 상응하는 원소가 같다.

 

행렬의 합과 차

 

행렬의 합

크기가 같은 두 행렬에 대하여 각 상응하는 원소의 합을 구한다.

두 행렬을 더할때는 항상 두 행렬의 크기가 같아야 한다는 점을 명심해야합니다.(상동)

 

행렬의 차

크기가 같은 두 행렬에 대하여 각 상응하는 원소의 차를 구한다.

두 행렬의 차를 손으로 구할때는 + -부호가 혼동될수 있으나 두 번쨰 행렬의 부호를 바꾸어 더한다고 생각하면 쉽습니다.(합과 같이 상동해야합니다.)

 

행렬의 스칼라 곱

앞에서 벡터의 스칼라 곱에 대해 설명한적이 있습니다. 그 당시 벡터는 행렬의 행벡터나 열벡터에 불과하다는 것입니다.

따라서 벡터의 스칼라 곱과 같은 방법으로 행렬의 스칼라 곱을 할 수 있습니다.

각 원소에 스칼라 값을 곱하기만 하면됩니다.

 

행렬의 곱

두 행렬의 곱 또는 행렬과 행렬을 곱하는 방법

이 부분은 내적과 관련이 있으므로 벡터 연산에서 내적에 관한 부분을 다시 봐야합니다.

행렬의 곱셈은 여러번의 내적을 구하는 과정입니다.

내적에 관한 두 가지 중요한 성질은

1. 내적을 구하려면 두 벡터는 반드시 원소의 수가 같아야 합니다.

2. 내적의 겨 ㄹ과는 스칼라 양(하나의 수)입니다.

 

곱할 행렬은 반드시 정방 행렬이나 반드시 같은 크기일 필요 역시 없습니다.

두 2x2 행렬의 곱

임의의 두 행렬 A = [a00  a01] B = [b00  b01]

                           [a10 a11]       [b10  b11]

에 대하여 AB = [(a00b00 + a01b10)  (a00b01 + a01b11)]

                     [(a10b00 + a11b10)  (a10b01 + a11b11)]

즉, 행렬 A의 0행과 행렬 B의 0열의 내적이다.

그리고 행렬 곱AB에 대하여 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 같아야 한다.

 

행렬 곱의 크기

행렬의 곱 AB가 정의된다면 행렬 AB의 크기는 A의 행과 B의 열의 개수를 가진다.

 

2x3과 3x3 행렬이 있다면

안쪽 숫자가 2x3과 3x3

"그리고 행렬 곱AB에 대하여 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 같아야 한다."

이것의 정의가 되므로 곱이 되고

크기는 바깥쪽의 숫자 2x3 3x3

"행렬의 곱 AB가 정의된다면 행렬 AB의 크기는 A의 행과 B의 열의 개수를 가진다."

이것으로 정의되어 즉 크기는 2x3행렬로 그 결과가 나온다.

 

추가로 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않습니다.

임의의 크기를 갖는 두 행렬 A, B에 대하여 AB = BA (X)

위의 2x3 3x3행렬을 해보면 딱 답이 나옵니다.

 

행렬의 곱은 3차원 게임에서 물체를 회전하기 위해 자주 쓰이곤 합니다.

 

전치행렬

각 원소의 행과 열을 바꾼 행렬을 이야기 합니다. 어떤 크기의 행렬에서도 전치행렬을 만들 수 있습니다.

3x3행렬의 전치행렬

A = [a00  a01  a02]

     [a10  a11  a12]

     [a20  a21  a22]

일때 A^t = [a00  a10  a20]

               [a01  a11  a21]

               [a02  a12  a22]

첨자 t는 전치행렬을 나타내는 기호입니다.

즉, 임의의 크기를 갖는 행렬 A에 대하여 각 원소의 Amn은 A^t에서 Anm으로 옮겨진다

a10이 a01으로 된다는 것.