충돌 검출에서의 응용

게임 프로그래밍을 할떄 두 직선이 만나는 점이 어디인지 알아야할 때가 있습니다.

두개의 직선의 방정식을 묶어서 일차 연립방정식을 만들 수 있습니다.

일차 연립방정식의 가능한 3가지 경우가 있다.

2x + 3y = 3

-x + 3y = -6

이 두 직선은 한점에서 만나게 된다.

다음

-3x + 6y = 6

-x + 2y = 2

두 직선은 일치한다. 똑같은 기울기와 y절편을 가진다.

다음

-x + 2y = 2

-x + 2y = -2

기울기는 같지만 y절편은 다르다

세가지 경우를 요약하면

1. 두 직선의 기울기가 서로 다르면 유일한 해

2. 두 직선의 기울기와 y절편이 모두 같으면 무한히 많은 해

3. 두 직선이 기울기는 같지만 y절편이 다르면 해는 없음

 

두 직선이 한점에서 교차하는지 확인한 다음에는 교차점이 정확히 어디인지 알고 싶어 할 것입니다.

두가지 방법으로 그 교차점을 구할 수 있습니다.

선형 결합법과 치환법이 그것입니다.

 

먼저 선형 결합법은 풀기에 편한 형태의 동등한 다른 연립방정식으로 변환하는것입니다.

방정식의 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱합니다. 그렇게 하여 두 방정식의 x나 y의 계수가 같아지도록 만드는 것입니다.(계수는 x나 y의 앞에 있는 수를 말합니다.)

3x + 2y =10

4x + 3y = 6

먼저 첫번째 방정식의 양변에 3을 곱하고(9x + 6y = 30)

두번째 방정식에는 2를 곱하고(8x + 6y = 12)

그 다음 두개의 방정식을 하나로 결합하는 것 즉 한 방정식을 다른 방정식에서 빼면 되는 것입니다.

첫번째 방정식에서 두번째 방정식을 뻅니다

   9x + 6y = 30

-(8x + 6y = 12)

=  x  + 0y = 18

* x = 18

x = 18이라는 등식은 원래 두 방정식의 선형결합이라고 불립니다. 연립방정식의 해가 18이라는 x좌표를 가진다는 것을 알게되었습니다.

이제 18을 원래 방정식에 대입하여 y좌표를 구하는 것 뿐입니다. 18을 첫번째 방정식에 대입하면

3(18) + 2y = 10

y = -22

결과적으로 이 연립방정식의 해는 (18, -22)가 됩니다.

정리하여 요약하면

1. x, y중에서 소거할 변수를 정합니다.

2. 제거하고자 하는 변수의 계수가 같아지도록 각 방정식의 양변에 0이 아닌 적절한 수를 곱합니다.

(작은 수가 되도록 곱하는 것이 쉽다는 점을 명심)

3. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼서 연립방정식의 선형 결합을 구합니다.

4. 첫번째 변수의 값을 구합니다.

5. 첫번째 변수의 값을 주어진 방정식에 대입하여 다른 변수의 값을 구합니다.

 

다음 치환법입니다(오직 변수 한개만 남게하고 나머지는 모두 우변으로 옮김)

다음 연립방정식 하나가 아래있습니다.

x + 2y = 5

이 방정식을 x에 대하여 정리하려면 먼저 양 변에서 2y를 빼야합니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.

x=-2y + 5

이제 이 x에 대한 등식을 치환합니다 두번째 방정식이 아래와 같이 있다면

3x - 2y = -1

치환을 하면

3(-2y + 5) - 2y = -1

* y = 2

y를 구하게 되면 선형 결합법과 같다 첫번째 방정식에 y값을 넣으면

x + 2(2) = 5

* x = 1

점은 (1,2)

치환법을 요약하면

1. 주어진 방정식에서 하나를 골라서 변수 하나에 대하여 정리합니다.

(좌변에는 변수 하나만 남기고 나머지 우변으로 이동)

2. 정리한 등식을 다른 방정식에 치환하여 넣습니다(이 시점이 아까 x를 치환했던 시기 변수 하나가 소거가 됨)

3. 남은 변수에 대해서 답을 구하고 구한값을 주어진 방정식 중 하나에 대입하여 최종 값을 구함